Giochiamo con un numero speciale. Il π

Il Pi greco è una costante indicata con π, utilizzata in matematica e fisica, ed è un numero irrazionale e trascendente, ovvero le cifre decimali si susseguono senza una soluzione di continuità.

Nella geometria piana, π viene definito come il rapporto tra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del diametro di un cerchio, o anche come l’area di un cerchio di raggio 1.

Si vuole creare uno spezzone di programma che determini, attraverso il metodo di Archimede, un’approssimazione il più possibile precisa del valore reale del pigreco.

Il metodo di Archimede, utilizzato per la prima volta dal matematico nel III secolo a.C., prevede di calcolare il pigreco prendendo in considerazione la misura di una circonferenza appositamente scelta e i perimetri dei poligoni a essa inscritti.

Guarda questo video per capire il metodo di Archimede matematico siciliano.

Pi is a constant indicated with π, used in maths and phisics, and it’s an irrational transcendent number, which means that its decimal figure don’t return periodically.

In the plane geometry, π is defined as the ratio between the length of the circumference and the length of the diameter of the circle, or as the area of a circle whose radium is 1.

We want to create a program which calculate, with the Archimede’s method, an approximation of Pi, the nearest possible to its real value.

Archimede’s method, used for the first time by the mathematician in the III century b.C., expect to calculate Pi considering the length of a circumference, suitably chosen, and the perimeters of the polygon inscribed in it.

Il metodo di Archimede prevede di calcolare il pigreco, prendendo in considerazione la misura di una circonferenza⁽¹⁾ appositamente scelta (raggio = ½ ) e i perimetri dei poligoni regolari⁽²⁾ a essa inscritti.

La circonferenza si calcola come , quindi sostituendo la misura del raggio che vale ½, la lunghezza della circonferenza è uguale a π.

Considerando un poligono inscritto alla circonferenza si nota che quanto più si aumenta il numero dei suoi lati tanto più il valore del suo perimetro si avvicina a quello della circonferenza, in questo caso a π.

Per calcolare il perimetro del poligono regolare con un numero arbitrario di lati (n).

Si costruisce un segmento (AD) che parte da A ed è perpendicolare al lato BC in modo che questo lo divida a metà (BD=DC).

Prendiamo in considerazione il triangolo rettangolo di figura: il segmento BD (a) è uguale a metà lato e, grazie alla trigonometria⁽³⁾, possiamo evincere che il sinΘ⁽⁴⁾ è 2a, che è anche la misura del lato.

Il perimetro di un poligono regolare si calcola come in numero del lati per il loro lunghezza, quindi è uguale a

P=n 2a

A questo punto con tutte le sostituzioni il perimetro è uguale a

P=n sin(θ)

Ragionando sull’angolo si nota che esso è uguale all’angolo giro (360°) diviso per il doppio del numero dei lati ( a = ½ lato).

P=n sin((360°)/2n)=n sin((180°)/n)

Quindi:

π=n sin((180°)/n)

Codice

package pigreco;
public class Pigreco {
public static void main(String[] args) {

double p;   /** inizializzazione di una variabile double;
* le variabile double, a differenza delle int,
* rappresentano numeri decimali con molte cifre dopo la virgola */

int lati;    /** il numero dei lati è intero,
* perchè non può esistere un poligono con, per esempio, 6,7 lati */

for(lati=3;lati<=10000;lati++)  /** il ciclo for permette di ripetere la
* funzione che si trova all’interno delle parentesi graffe per un numero di
* volte tali affinchè il numero di lati del poligono vada da 3 a 10000 */

{

p =lati*(Math.sin(Math.toRadians(180/lati)));  /** formalizzazione
* dell’operazione pigreco = lati x seno ( 180/numero di lati ) */

System.out.println(“numero lati= “+lati+” valore del pigreco= “+p+” “);    /** visualizza a video numero di lati = …  valore del pigreco = …  */

}
}
}

A video compariranno 10000 valori di lati e le corrispettive approssimazioni del valore di pi greco

[…]

numero di lati= 174 valore del pigreco= 3.036718720087331
numero di lati= 175 valore del pigreco= 3.0541711265246145
numero di lati= 176 valore del pigreco= 3.071623532961898
numero di lati= 177 valore del pigreco= 3.0890759393991813
numero di lati= 178 valore del pigreco= 3.106528345836465
numero di lati= 179 valore del pigreco= 3.1239807522737486
numero di lati= 180 valore del pigreco= 3.141433158711032

[…]

Conclusioni

Si dimostra che, all’aumentare del numero dei lati del poligono inscritto, il valore di pigreco diventa sempre più preciso.

L’impiego di un calcolatore permette di effettuare operazioni elementari fra numeri in tempi molto brevi, offrendo la possibilità di risolvere calcoli complessi mediante l’uso di algoritmi ; tuttavia il calcolatore, essendo una macchina finita, è costretto a operare con numeri aventi una quantità di cifre finita, quindi il risultato sarà trascritto tramite un troncamento o un’approssimazione. In generale un numero reale introdotto nel calcolatore viene approssimato mediante un numero macchina.

Questo significa che, eseguendo un algoritmo su un calcolatore, si ha una creazione e propagazione degli errori, perciò il risultato ottenuto dall’algoritmo differisce dal risultato esatto, cioè da quello che si otterrebbe lavorando con i numeri reali.

Legenda

1) Circonferenza: luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.

2) Poligono regolare: porzione convessa di piano euclideo delimitato da una linea spezzata chiusa, formata da una successione di segmenti di uguale lunghezza (detti lati), che formano tra loro angoli di uguale ampiezza.

3) Trigonometria: parte della matematica che permette di calcolare il valore dei lati e degli angoli di un triangolo quando siano noti tre dei suoi elementi, tra cui almeno un lato.

4) sinΘ: dato un triangolo rettangolo esso è il rapporto tra la lunghezza del cateto opposto all’angolo e dell’ipotenusa.

Autori della ricerca: Girardi Irene, Leotta Arianna, Rossetto Gloria

Ringrazio i miei studenti per la concessione del lavoro svolto per informatica (calcolo numerico) nel liceo scienze applicate
prof. Marco Palladino